FFT oder schnelle Fourier-Transformation ist ein mathematischer Algorithmus zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) einer Sequenz oder eines Signals. Im Wesentlichen wandelt FFT ein Signal von seiner Zeitbereichsdarstellung in seine Frequenzbereichsdarstellung um. Diese Transformation ermöglicht es uns, das Signal anhand seiner Frequenzkomponenten und nicht anhand seiner zeitlichen Amplitudenschwankungen zu analysieren. Der FFT-Algorithmus ist besonders für seine Effizienz bei der Berechnung der Fourier-Transformation bekannt, was ihn in verschiedenen Anwendungen wie Signalverarbeitung, Telekommunikation, Audioanalyse und wissenschaftlichem Rechnen unverzichtbar macht.
FFT kann als Rechenmethode erklärt werden, die die Fourier-Transformation einer Sequenz effizient berechnet, indem sie die DFT-Berechnung rekursiv in kleinere Teilprobleme zerlegt. Anstatt die DFT direkt zu berechnen, was O(n2)O(n^2)O(n2)-Operationen beinhaltet, reduziert FFT die Komplexität auf O(nlogn)o(n log n)o(nlogn), wobei NNN die ist Anzahl der Datenpunkte. Diese Effizienz wird durch die Ausnutzung von Symmetrien und Periodizitäten in den DFT-Gleichungen und den Einsatz von Techniken wie dem Cooley-Tukey-Algorithmus erreicht, der den Datensatz rekursiv in kleinere Teile aufteilt, ihre Fourier-Transformationen berechnet und sie kombiniert, um das Endergebnis zu erhalten.
Die Fourier-Transformation ist eine mathematische Operation, die eine Funktion oder ein Signal in seine Frequenzbestandteile zerlegt. Es transformiert ein Signal vom Zeitbereich, wo es als Funktion der Zeit dargestellt wird, in den Frequenzbereich, wo es als Funktion der Frequenz dargestellt wird. Die Fourier-Transformation enthüllt die Amplitude und Phase jeder im Signal vorhandenen Frequenzkomponente, liefert wertvolle Informationen über ihre Frequenzzusammensetzung und ermöglicht eine detaillierte Analyse ihrer spektralen Eigenschaften.
Der FFT-Algorithmus ist, vereinfacht ausgedrückt, eine Technik zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) einer Sequenz oder eines Signals. Dies wird dadurch erreicht, dass die DFT-Berechnung in kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird und die Fourier-Transformation rekursiv auf diese Teilprobleme angewendet wird. Durch die Ausnutzung mathematischer Eigenschaften wie Symmetrie und Periodizität im Signal reduziert FFT die Rechenkomplexität von O(N2)O(N^2)O(N2) auf O(nlogn)O(n log n) ) o (nlogn), wobei nnn die Anzahl der Datenpunkte ist. Diese Reduzierung der Komplexität macht die FFT erheblich schneller als die direkte Berechnung der DFT für große Datensätze.
Die Idee hinter der FFT besteht darin, die Periodizitäts- und Symmetrieeigenschaften der Fourier-Transformationsgleichungen zu nutzen, um die Berechnung der DFT zu beschleunigen. Anstatt jede Frequenzkomponente einzeln zu berechnen, unterteilt FFT die DFT-Berechnung in kleinere, einfachere Komponenten, die effizienter berechnet werden können. Durch die rekursive Aufteilung des Datensatzes und die Anwendung der iterativen Fourier-Transformation erreicht FFT eine optimale Leistung und wird häufig für Aufgaben wie Spektralanalyse, Filterung, Faltung, Korrelation und Modulationsanalyse in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, Technik und Technologie eingesetzt.