In diesem Beitrag erfahren Sie ausführlich, warum FFT schnell ist. Was macht FFT schneller als DFT? Und wie viel schneller ist FFT?
Warum ist FFT schnell?
FFT oder schnelle Fourier-Transformation ist vor allem auf ihre algorithmische Struktur und die Verwendung mathematischer Eigenschaften zurückzuführen, die die Anzahl der zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) einer Sequenz erforderlichen Operationen reduzieren.
Im Gegensatz zur herkömmlichen DFT, die jede Frequenzkomponente einzeln mit der Komplexität O(N2)O(N^2)O(N2) berechnet, nutzt die FFT die Divide-and-Conquer-Strategie sowie Symmetrien und Periodizitäten in den Gleichungen der Fourier-Transformation.
Dieser Ansatz reduziert die Anzahl der erforderlichen Berechnungen erheblich und macht die FFT viel schneller als die direkte Berechnung der DFT für große Folgen von Datenpunkten.
Was macht FFT schneller als DFT?
Die FFT ist schneller als die direkte Berechnung der DFT, hauptsächlich aufgrund ihrer Recheneffizienz im Hinblick auf die Zeitkomplexität. Die direkte Berechnung der DFT umfasst O(N2)O(N^2)O(N2)-Operationen, wobei Nnn die Anzahl der Datenpunkte in der Sequenz ist.
Im Gegensatz dazu reduziert FFT diese Komplexität auf o(nlogn)o(n log n)o(nlogn), was eine erhebliche Verbesserung für große nnn darstellt. Diese Effizienz ergibt sich aus der rekursiven Aufteilung der DFT-Berechnung in kleinere Teilprobleme, kombiniert mit der Verwendung komplexer Einheitswurzeln und symmetrischer Eigenschaften der Fourier-Transformation.
Wie viel schneller ist FFT?
Die durch FFT im Vergleich zur direkten DFT-Berechnung erzielte Beschleunigung hängt von der Größe der eingegebenen NNN-Sequenz ab.
Bei einem großen NNN kann die FFT um Größenordnungen schneller sein als die direkte Methode. Die Reduzierung der Rechenkomplexität von o(n2)o(n^2)o(n2) auf o(nlogn)o(n log n)o(nlogn) bedeutet, dass die FFT mit zunehmendem Nnn schneller wird.
Beispielsweise kann die FFT für n = 1024n = 1024n = 1024 etwa 100-mal schneller sein als die direkte DFT-Berechnung, und der Geschwindigkeitsvorteil wird noch ausgeprägter, wenn NNN größer wird.
FFT ist rechnerisch effizienter, vor allem weil die Anzahl der Operationen, die zur Berechnung der Fourier-Transformation einer Sequenz erforderlich sind, reduziert wird. Diese Effizienz wird durch die Zerlegung der DFT-Berechnung in kleinere, einfachere Teilprobleme und die Ausnutzung mathematischer Eigenschaften wie Symmetrie und Periodizität im Frequenzbereich erreicht.
Durch die rekursive Zerlegung der Berechnung und die Verwendung effizienter Algorithmen wie Cooley-Tukey FFT oder anderer Varianten erreicht FFT eine optimale Leistung, die für Echtzeitverarbeitung und Hochgeschwindigkeitsanwendungen in verschiedenen Bereichen der Signalverarbeitung, Kommunikation, Audioverarbeitung und des wissenschaftlichen Rechnens geeignet ist.
Wir glauben, dass dieser Beitrag zum Thema „Warum ist FFT schnell?“ hilfreich war
