FFT, o trasformata veloce di Fourier, è un algoritmo matematico utilizzato per calcolare la trasformata discreta di Fourier (DFT) di una sequenza o di un segnale. Essenzialmente, la FFT converte un segnale dalla sua rappresentazione nel dominio del tempo alla sua rappresentazione nel dominio della frequenza. Questa trasformazione ci consente di analizzare il segnale in termini di componenti di frequenza costituenti piuttosto che di variazioni di ampiezza nel tempo. L’algoritmo FFT è particolarmente rinomato per la sua efficienza nel calcolo della trasformata di Fourier, rendendolo indispensabile in varie applicazioni come l’elaborazione del segnale, le telecomunicazioni, l’analisi audio e il calcolo scientifico.
La FFT può essere spiegata come un metodo computazionale che calcola in modo efficiente la trasformata di Fourier di una sequenza scomponendo ricorsivamente il calcolo della DFT in sottoproblemi più piccoli. Invece di calcolare direttamente la DFT, che implica operazioni O(n2)O(n^2)O(n2), la FFT riduce la complessità a O(nlogn)o(n log n)o(nlogn), dove NNN è la numero di punti dati. Questa efficienza si ottiene sfruttando simmetrie e periodicità nelle equazioni DFT e utilizzando tecniche come l’algoritmo Cooley-Tukey, che divide ricorsivamente il set di dati in parti più piccole, calcola le trasformate di Fourier e le combina per ottenere il risultato finale.
La trasformata di Fourier è un’operazione matematica che decompone una funzione o un segnale nelle sue frequenze costituenti. Trasforma un segnale dal dominio del tempo, dove è rappresentato in funzione del tempo, al dominio della frequenza, dove è rappresentato in funzione della frequenza. La trasformata di Fourier rivela l’ampiezza e la fase di ciascuna componente di frequenza presente nel segnale, fornendo preziose informazioni sulla sua composizione in frequenza e consentendo un’analisi dettagliata delle sue caratteristiche spettrali.
L’algoritmo FFT, in termini semplici, è una tecnica per calcolare in modo efficiente la trasformata discreta di Fourier (DFT) di una sequenza o di un segnale. Ciò avviene dividendo il calcolo DFT in sottoproblemi più piccoli e applicando ricorsivamente la trasformata di Fourier a questi sottoproblemi. Sfruttando proprietà matematiche quali simmetria e periodicità nel segnale, FFT riduce la complessità computazionale da O(N2)O(N^2)O(N2) a O(nlogn)O(n log n) ) o (nlogn), dove nnn è il numero di punti dati. Questa riduzione della complessità rende la FFT notevolmente più veloce rispetto al calcolo diretto della DFT per set di dati di grandi dimensioni.
L’idea alla base della FFT è quella di sfruttare le proprietà di periodicità e simmetria delle equazioni della trasformata di Fourier per accelerare il calcolo della DFT. Invece di calcolare ogni componente di frequenza individualmente, la FFT suddivide il calcolo della DFT in componenti più piccoli e semplici che possono essere calcolati in modo più efficiente. Dividendo ricorsivamente il set di dati e applicando la trasformata iterativa di Fourier, la FFT raggiunge prestazioni ottimali ed è ampiamente utilizzata per attività quali analisi spettrale, filtraggio, convoluzione, correlazione e analisi di modulazione in vari campi della scienza, dell’ingegneria e della tecnologia.