FFT, czyli szybka transformata Fouriera, to algorytm matematyczny używany do obliczania dyskretnej transformaty Fouriera (DFT) sekwencji lub sygnału. Zasadniczo FFT konwertuje sygnał z reprezentacji w dziedzinie czasu na reprezentację w dziedzinie częstotliwości. Transformacja ta pozwala nam analizować sygnał pod kątem składowych częstotliwości, a nie zmian amplitudy w czasie. Algorytm FFT jest szczególnie znany ze swojej wydajności w obliczaniu transformaty Fouriera, co czyni go niezbędnym w różnych zastosowaniach, takich jak przetwarzanie sygnałów, telekomunikacja, analiza dźwięku i obliczenia naukowe.
FFT można wyjaśnić jako metodę obliczeniową, która skutecznie oblicza transformatę Fouriera sekwencji poprzez rekurencyjny rozkład obliczeń DFT na mniejsze podproblemy. Zamiast bezpośrednio obliczać DFT, co obejmuje operacje O(n2)O(n^2)O(n2), FFT redukuje złożoność do O(nlogn)o(n log n)o(nlogn), gdzie NNN jest liczba punktów danych. Wydajność tę osiąga się poprzez wykorzystanie symetrii i okresowości w równaniach DFT oraz zastosowanie technik takich jak algorytm Cooleya-Tukeya, który rekurencyjnie dzieli zbiór danych na mniejsze części, oblicza ich transformaty Fouriera i łączy je w celu uzyskania końcowego wyniku.
Transformata Fouriera jest operacją matematyczną, która rozkłada funkcję lub sygnał na częstotliwości składowe. Przekształca sygnał z dziedziny czasu, gdzie jest reprezentowany jako funkcja czasu, do dziedziny częstotliwości, gdzie jest reprezentowany jako funkcja częstotliwości. Transformata Fouriera ujawnia amplitudę i fazę każdej składowej częstotliwości występującej w sygnale, dostarczając cennych informacji na temat jego składu częstotliwościowego i umożliwiając szczegółową analizę jego charakterystyk widmowych.
Algorytm FFT, w uproszczeniu, to technika wydajnego obliczania dyskretnej transformaty Fouriera (DFT) sekwencji lub sygnału. Osiąga to poprzez podzielenie obliczeń DFT na mniejsze podproblemy i rekurencyjne zastosowanie transformaty Fouriera do tych podproblemów. Wykorzystując właściwości matematyczne, takie jak symetria i okresowość sygnału, FFT zmniejsza złożoność obliczeniową z O(N2)O(N^2)O(N2) do O(nlogn)O(n log n) ) o (nlogn), gdzie nnn to liczba punktów danych. To zmniejszenie złożoności sprawia, że FFT jest znacznie szybsze niż bezpośrednie obliczanie DFT dla dużych zbiorów danych.
Ideą FFT jest wykorzystanie właściwości okresowości i symetrii równań transformacji Fouriera w celu przyspieszenia obliczeń DFT. Zamiast obliczać każdą składową częstotliwości indywidualnie, FFT dzieli obliczenia DFT na mniejsze, prostsze składowe, które można obliczyć wydajniej. Dzieląc rekurencyjnie zbiór danych i stosując iteracyjną transformatę Fouriera, FFT osiąga optymalną wydajność i jest szeroko stosowany do zadań takich jak analiza widmowa, filtrowanie, analiza splotu, korelacji i modulacji w różnych dziedzinach nauki, inżynierii i technologii.